पुनरावर्ती परिभाषा से फ़ंक्शन का बंद रूप

सकारात्मक पूर्णांक $x$ के लिए $f(x)$ को $$f(x) = (2^x - 1)^n - \sum_{j = 1}^{x - 1}\binom{x}{ के रूप में परिभाषित करें j} \cdot f(j)$$जहाँ $n$ कुछ स्थिरांक है और $f(1) = 1$। मैं $f(x)$ को स्पष्ट रूप से निर्धारित करना चाहता हूं। यहाँ वह है जो मैं करने में सक्षम था: $$f(x) - f(x - 1) = (2^x - 1)^n - (2^{x-1}- 1)^n - \sum_{j = 1}^{x - 2 }\binom{x - 1}{j - 1}\cdot f(j) - \binom{x}{x - 1}\cdot f(x - 1)$$ मैंने टेलीस्कोपिंग श्रृंखला का मूल्यांकन करने की कोशिश की, लेकिन यह बेहद जटिल और अनुपयोगी हो गई। इस पर कोई विचार है कि मैं $f(x)$ को बंद रूप में कैसे पा सकता हूं?

दाहिनी ओर द्विपद गुणांक-भारित योग घातांक उत्पन्न करने वाले कार्यों का उपयोग करने का सुझाव देता है। $f(0)=0$ को परिभाषित करें और दिए गए समीकरण को फिर से लिखें $$ \sum_{j=0}^k \binom kj f(j) = (2^k-1)^n = \sum_{i=0}^n \binom ni (2^k)^i (-1) ^{n-i} $$ (यह मानते हुए कि $n$ एक अऋणात्मक पूर्णांक है)। दोनों पक्षों को $x^k/k!$ से गुणा करने और $k$ से अधिक का योग करने पर घातीय जनरेटिंग फ़ंक्शन पहचान प्राप्त होती है \शुरू करें{संरेखित करें*} \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} \sum_{j=0}^k \binom kj f(j) &= \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} \sum_{i=0}^n \binom ni (2^k)^i (-1)^{n-i} \\ &= \sum_{i=0}^n (-1)^{n-i} \binom ni \sum_{k=0}^\infty \frac{(2^ix)^k}{k!} = \sum_ {i=0}^n (-1)^{n-i} \binom ni e^{2^ix}. \end{संरेखित करें*} बाईं ओर के लिए, हम मौलिक कनवल्शन पहचान का उपयोग करते हैं $$ \biggl( \sum_{k=0}^\infty a_k \frac{x^k}{k!} \biggr) \biggl( \sum_{k=0}^\infty b_k \frac{x^k}{ k!} \biggr) = \sum_{k=0}^\infty \biggl( \sum_{j=0}^k \binom kj a_j b_{k-j} \biggr) \frac{x^k}{k!} $$ $a_j = f(j)$ और $b_j=1$ के साथ, ताकि $$ \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} \sum_{j=0}^k \binom kj f(j) = \biggl( \sum_{k=0}^\ infty f(k) \frac{x^k}{k!} \biggr) \biggl( \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} \biggr) = e^x \sum_{k=0}^\infty f(k) \frac{x^k}{k!}. $$ हम यह निष्कर्ष निकालते हैं $$ \sum_{k=0}^\infty f(k) \frac{x^k}{k!} = e^{-x} \sum_{i=0}^n (-1)^{n-i} \ बिनोम नी ई^{2^ix} = \sum_{i=0}^n (-1)^{n-i} \binom नी ई^{(2^i-1)x}. $$ मैकलॉरिन गुणांक की तुलना करने पर पता चलता है $$ f(k) = \sum_{i=0}^n (-1)^{n-i} \binom ni (2^i-1)^k. $$ ध्यान दें कि यह रेमंड मैनज़ोनी के उत्तर के सूत्रों के अनुरूप है।

$n$ के पहले मानों के लिए अनुमानित परिणाम: \शुरू{सरणी} {सीसी} n& f(x)\\ 1&1\\ 2&3^x-2\\ 3&7^x-3\cdot 3^x+3\\ 4&15^x-4\cdot 7^x+6\cdot 3^x-4\\ 5&31^x-5\cdot 15^x+10\cdot 7^x-10\cdot 3^x+5\\ \end{सरणी}

ग्रेग मार्टिन के समाधान के अनुरूप!