हॉज स्टार ऑपरेटर साइन परिवर्तन का कारण बन रहा है

मैं फिलहाल खुद को डिफरेंशियल फॉर्म सिखाने की प्रक्रिया में हूं। मैंने हाल ही में हॉज स्टार $(\star)$ के बारे में सीखना शुरू किया है। मैं इसके बारे में पढ़ रहा था और मुझे $2$-स्पेस के लिए निम्नलिखित समानता का पता चला: $$ \star\mathrm{d}y = -\mathrm{d}x $$

बस स्पष्ट करने के लिए, मैं समझता हूं कि $\star$ $k$-रूपों को $n$-space में $(n-k)$-रूपों में परिवर्तित करता है। हालाँकि, मुझे समझ नहीं आता कि यह नकारात्मक कहाँ से आता है या यह $\mathrm{d}x$ में क्यों बदल जाता है, वास्तव में यह मामला सहज रूप से क्यों है?

यह अभिविन्यास के बारे में है। $\omega\wedge\star\omega$ को वॉल्यूम फॉर्म का एक नॉननेगेटिव मल्टीपल देना होगा। आपके मामले में, $dx\wedge dy$ मानक अभिविन्यास के साथ $\Bbb R^2$ पर वॉल्यूम (क्षेत्र) फॉर्म है, और $dy\wedge (-dx) = dx\wedge dy$ है। (यह जांचना भी उपयोगी हो सकता है कि $\|{\star}\omega\| = \|\omega\|$.)